青华数学 直 圓 柱 米拉基揚著 何仁炯譯 鉴姜 中阳老年去版花 197年·北京 ==========第1页========== 内容提要 直圓柱在技术上.应用得很多，在甘常生活中违常常碰到直圓柱的例子。跟直柱有关的，有很多有趣的东西。这本小册子前三筇研究了跟直凰柱有关的三种曲钱一螺旋越、橢圈和正弦曲栈；接下去四筋研究了跟直圆柱有关的四个实际問语：計算在傾斜的圓柱容器里盛水的体积問題，圆柱轉动时的动能和轉动慣量問題，圓柱容器底下榻水快慢的問題以及全面积一定的圓柱什么时候体积最大的間題；最后一櫛从圓柱面討論了这样一个問題：曲面的面积是不是可以看做內接于曲面的多面体当面数无限增多、而各个面的面积无限縮小时的面积的限？用到的知激不超出中学数学的范厨，虽然有些問題实質上是高等数学的問題。 I.M.MMPAKbAH IPAMOM KPyTOBOM IMJIHHIP TOCTEXMBHAT MOCKBA,1955 ==========第2页========== 譯者的話 譯完了这本小册子，我想跟藏者葡單地交流一下学习心得。 这本小冊子是苏联技术理論書籍出版社出版的一套“数学通俗群演”里的一本。我認为学习这类数学小冊子的好处，首先就在：它可以使我們更深刻地認藏到，数学并不是枯燥的空理論，而是和生产有紧密的联系的。数学生动地反映着客覌規律，是我們建設事业不可缺少的工具。例在这本小冊子里，我例可以看到，正弦曲綫是做弯管的时侯需要用到的；研究了求极大值的方法，就能为国家节省資金，等等。‘这些例子，都会使我們很自然地和“枯燥”的数学发生咸情。 此外，通过这类小冊子的学习，我期可以很有兴趣地来复习中学数学里菲到的东西，例如在这本小邢子里，我們会复习到直圓柱的公式和毅数等等朋题。同时，在这类小冊子里常常很自然地}人一些高等数学的基本概念。例知在这本小册子里，就提到了螺旋筏、测地袋、橢圓、极限等等的基本概念，对將来学习高等数学是很有帮的.所以我認为，这类小冊子是在初等数学的基础上向高等数学进軍的跳板。希望敲者在学习中有所收获。 何仁炯198年4月6日 ==========第3页========== 原序 这本小邢子的基酣是我在153年三月对参州第十一屈敖德薩中学高级戮学竞整会的学生所做的講演。竞賽是在敖德国立梅契尼科夫大学物理数学系組锇下进行的。上述議黄稿的内容只包括象这本小册子的第二、第五！第八节里所講的那些，其余各节也很有趣，当然，要把它們都放在一次两小时的素演里，郑是不可能的。 这本小冊子的内容，九年极年极①的同学是完圣可以頜会的，因为解答問題所用的方法#沒有超出中学数学的范圍，虽然实質上这些間題是高等数学的問題。 在这里，我認为必須向对这本小珊子提供了宝貴改进意見的吉洪諾娃同志致谢。 T。M.米拉基掃 ①相当于我国高中二年级和三年级。一器者注 4 ==========第4页========== 前 骨 从中学几何課本知道，柱面是由一条直筏（母綫）沿着某 一条曲筏（准餐）作平行于已知方向的移动而得到的. 假如准筏是个圓，而母袋垂直于这个圓的不面，那么我們得到的就是一个值圓柱。换句話說，可以給直圓柱下这样一个定义：直圓柱是互相平行的雨条直綫中的一条繞着作为轉动軸的另一条轉动所形成的面。 雨个垂直于直凰柱軸的平面截直圓柱而得到的直圓的 一部分，也叫做直圓柱；这时候，这雨个平面之間的距离叫做直圓柱的高。 从中学儿何髁本还知道，底牛徑是R、高是H的圓柱体， 体积等于 TR"H, 侧面积等于 2TRH, 而全面积等于 2RH+2TR2-2TR(H+R) 自然会发生这样一个問题：关于直圓柱还有什么該道的呢？初看起来，好象关于直圓柱的所有东西，这就都競完了。但是，实际上并不是这样。从这本小册子，藏者就会知道，跟 5 ==========第5页========== 直圓柱这种着来这么笛單的几何面有关的，还有很多有趣的东西哩。 要知道，道圓柱在技术上应用的很多；在日常生活中，我們門也常常会碰到直圓柱的例子。机械和机器上的轴、軸承的表面、飞输的輸緣、各种管子的側面、石油槽，以至罐头和卷筒舐一所有这些东西，都有直圓柱的形狀。 下面我們就把直圓柱簏称做圓柱。 把底华徑是、高是丑的值圓柱，沿它的一条母畿切开，然后把这个面攤不；这时使，我钙得到了一个底是2xR、高是丑的矩形。这个矩形就叫做这个圓柱在平面上的展开面。这种展开面用其他方法也可以得到，用不着把圓柱切开。假設在“个圓柱的表面新涂了一层顏料，把它放在一个不面上，沿着一条母棧和本面相接触。現在，把圓柱沿着本面沒有滑动地滾动一周；那么，在不面上就会出現圓柱面的印迹，它的形 状是一个底等于2πR、高等于H的矩形，也欺是前面所說的 展开面、反过来，每一个底等于、高等于b的矩形，都可以看做是高等于6、底华在等于的直圓柱的展开面. 容易看出，牛徑等于R的无限圓柱的展开面，是包含在相 距等于2πR的雨条平行袋之間的…部分本面. 应孩指出，并不是所有的面都能在不面上展开，例如球面就不能在平面上展开、直圓雠却可以在不面上展开；这里展并面是一个月形、 8 ==========第6页========== 以后我們就要用到圓柱的展开面. 現在，光来介貂一条跟圓柱有直接关系的綫。 在牛徑是R的圓柱上取圓AB0,这个圓位于跟圓柱軸垂 直的平面上；把直角三角形区EC繞在圓柱上，使直角边C 繞在圓ABC上；那么斜边CK在圓柱上就形成了一段綫， 这段曲綫叫做螺旋綫（图1）。 图1. 把三角形K0E繞直角边C亚旋轉180°，再把它烧在圓 柱上，铙的方向跟三角形KCE第一火绕的相反那么就得到 了另一段螺旋綫，这段螺旋綫是起先得到的那一段的延粮在 图1上三角形KEC的第二个位置用CEK'来表示).如果 无限增長直角边CE,就得到整条的螺旋钱、 螺旋钱跟同一条母钱相交的前后雨点之間的機段，鲜做 螺襞圈。母钱上这样雨点間的距离，叫做螺距。角KCE叫做 螺旋角，用α来表示。为了求出螺畿圈的長1螺距，諧看 ==========第7页========== 间衡三衡形(E,它的直角边C北等于2rR,而角KCB。等·于螺旋角αx(图2)。容易看H,斜边KC等于螺綫的長1,直角边KoE。等于螺. 2nR Eo 图2. 因诜得到公式l=2xti eosa (1) h=2 Riga。 (2) 螺旋綫有右螺旋和左螺旋雨种。假設有-一个点，沿着螺旋綫运劲。螺旋綫在垂直于它的軸（螺旋綫所镌的圓柱的軸，就即做螺旋殘的軸)的不面上的射影，显然是个阗。因此，假如按軸的方向对着螺旋綫看，那么就会看見这个点是沿着]在运动。假如这个点順时方向沿着圓运动的时候是逐撕离我們远去的，这种螺旋筏就叫做右螺旋筏；假如它順时针方向运动的时候跟我們越来越接近，这种螺旋綫就叫做左螺旋袋，茌同一个圓柱上，螺旋角相同的右螺旋綫和左螺旋綫是不可能重合的。在图1上我們得到的是左螺旋穖；假如要得到右螺旋綫，应骸把三角形按相反的方向繞起来。· 在自然界里，蔓生植物的卷须是具有螺旋筏的形状的.象猫萄、蛇航草、荣豆，豌矿等等植物的卷須，都可以作为例子。同时在卷須糰繞时，假如支杆在它的左边，就形成右螺旋 8 ==========第8页========== 袭；假如在卷須运动时（卷須在空間描出一个圓錐，就是所謂卷須的轉头运动)，碰到壑直的支杆在右边，邪么，卷須就沿着文杆繞成左螺旋綫。 至·蔓生植物的莖，也能沿着支杆繞成螺旋綫；不过它捫每一种都是按着一定方问繞卷的。大部分蔓生植物都繞成行螺旋綫，例如荣豆、率牛花和甘薯等都是；繞成左螺旋袋的，有蛇航草和忍冬。 在物理学上和技术上，我們也常常会碰到螺旋諓的例子。咸应筏圈上的每一层导綫都具有螺旋角很小的螺旋綫形狀。車床在勻速走刀的情况下車圓柱，圓柱上留下的痕迹就呈螺旋筏形狀。圓柱形麻花鑽头的切削刃也具有螺旋綫的形狀。各种安装螺絲和調整螺絲、螺栓和螺帽上的螺紋都是螺旋綫(通常都朵用右螺旋较)。飞机作直钱匀速飞行的时候，它螺旋槳 ① ② 图3.1，甘署的垫，繞成螺旋棧；2，蛇脉草的垫，繞成左螺旋钱 ==========第9页========== 上的点描翰着螺旋綫。远洋輪和小汽艇的螺旋推进器上的点也描翰着螺旋綫。拔瓶塞用的螺旋錐上也有螺旋綫。飞机“进入螺旋”的时候，机鉅上的点猫输着螺旋綫。来复枪彈炮彈在作直綫匀速飞行的时候，它們表面上的点也都猫箱着螺旋綫。上面所举科学技术性質的例子，在計算的时候都要用到螺旋綫的这个或者那个性質。这些例子，在数量上和性質上都可以明螺旋綫在实际应用上的重要性。 現在我們来研究一下螺旋綫的某些性質。 武証明螺旋綫在平行于螺旋緩軸的平面上的射影，是一条正弦曲綫。 假設螺旋綫是在牛徑R的圓柱上，螺距是五。为了証明 上述論断，显然只要研究一个螺綫圈就够了。設OMM1MP: 是一个螺袋圈，它在長是五的“一段”圓柱上而OPP1P2Pg是 它在沿母綫OP:和圓柱相切平面上的射影（图4）。在切面 上取直角坐标，O是原点，母綫OP。作Ox軸，而Oy軸在O点垂直于OPg. 用P来代表螺筏圈上任意一点M的射影。从P点IOx 图4。 10 ==========第10页========== 轴的垂筏PS,井用：来代表畿段OS的度，用y来代表垂筏PS的長；那么，P点的横坐标是g,縱坐标就是y。当P点沿着螺旋畿的射影移动的时候，它的坐标x和y也随着在改变；同时，它們之間还有某种关系。这种关系就是我們所要确定的。 作出M点和P点在圓柱底不面上的射影，得到V点和 K点（图4）。O点是底面的圓心.連接C点和N点，并从N 点引直綫OC的垂綫NQ.可以看出， NM=KP=OS=x,还有，QN=OK=SP=y。把圓柱面的NOM部分展 开，就得到直角三角形VOM(在图5 上，三角形NOM的尺寸是放大了一 倍)。 角MON等于螺旋角，可以从等 式(2)来确定： 图6。 tga=2E ・ 从图5可以求出直角边ON: ON=-MNotga-xotga-22R 現在，很容易求出圓心角OCN(图4)的弧度了，也就是 ∠0CN==x2型÷R=.再藏在直角三角形0QY 里，已知科边CN=R和戟角0CY-2,可以求出直角边 NQ: YQ=ONsin∠OCy=Rein2r 11 ==========第11页========== 因为NQ=y,所以 y=Rsin 2ve h 也就是說，螺旋綫的射影是一条正弦曲綫 假如把上面刻有螺旋綫的圓柱面沿它的某一条母綫切开，然后攤在平面上，那么任展开面上螺旋綫就成一組互相罕行和等距离的斜綫段（图6）。 图6. 現在，我們来獬这样一个 問题. 假如在圓柱面上P点停着一只蜘蛛，在G点停着一只蒼 蝇（图7）. 請問，蛛沿着哪条路綫岗蒼蝇爬去路程最短一 FIG、F亚G或F亚G昵，还是沿着其他速接F点和G点的 路畿？ D G 耳 图7. 12 … ==========第12页========== 在解答問題时，我們把下列情况除外，就是当F点和G ，点在同一条母袋上，或者在垂直于圓柱的軸的平面.上的一个圓周上。很容易看出，在第一种情刃下，最短的路綫是沿着这 一段母綫爬；在第二种情况下，是沿着圓周的劣弧爬。 設通过圓柱軸的平面ABOD把圃柱分隔成兩华，使蜘蛛 和蒼蝇在同一华圓柱上。然后，沿着另…牛上的某一条斑綫 PQ把圃柱面切开，現在我們博到这个展开面上去所究（图8）. D 图8. 在不面上，雨点間的最短路綫是通过这雨点的一段直镂； 因此引直綫FG,井且把矩形P'Q'Q”P"重新卷成圓柱。在这 种情况下，镂段不改变長度，却变成了一段螺旋钱。因此，在圓柱面上的最短路綫是螺旋綫。所以，蜘蛛应該沿着速 接F和G的螺旋横向蒼蝇爬去。 但是，并不是所有通过P点和点的螺旋袋都是最短的 路钱；經过F点和G点可以引无限多的螺旋袋，它們在F点 和G点之間圈剧数不同，方向也不一样（图9是其中的儿个例 子)。 然而，这些螺旋綫段都不是上述問题所要求的答案、 13 ==========第13页========== 图8。 螺旋籛、母綫、垂直于圓柱轴的截面上的圓都是直圓柱上的测地縵心，它們就好象平面上的直綫和球上的大圓一样。这儿应該指出，虽然在曲面上（例如在圓柱上）最短的綫是酒地綬，而测地綫并不一定都是最短的綫（就象我們知道的，圓柱上雨点之間可以引出一些螺旋袋，它們井不是最短的筱). 在这一节里，我們要討論用平面截圓柱所得的截綫，我們先来談談叫做橢圓的曲綫。橢圓是平面上到雨定点的距离的和等于常量而且大于这雨点之間的距离的点的軌 迹。这雨个定点做椭圆的焦点（在图10上，焦点用F1和F2 来表示，点M、M1、M2、M在橢圓上). 根据上述的定义，很容易作出椭鬨。把一条定長的綫的 ①澠地棧也叫短程畿。地義的理論是在高等数学职程一一曲面論和变分法里研究的。14 ==========第14页========== M 图10. 兩头固定在雨个定点一焦点F1和F2上，然后用削尖的鉛 笔把袋拉开，使鉛笔在紙上滑动并随时保持縵段張紧（图11）。这样做的結果就会描出一条阴合曲綫（为了得到阴合的曲綫，当钱碰到钉子的时侯，可以把袋拿到另一边去)，这条閉合曲 餐是-…个椭圓，因为，这条曲綫上的任意一点到F1和F2雨点 的距离的和等于常量，也就是等于这段畿的長。 圓可以看做是橢圓的一种特殊情况。当F1和F2兩点重 合的时候，就得到圓。 現在我捫分别确定用平面截圓柱所得的各种截綫如下： 图11， 15 ==========第15页========== 1,假如截面平行于圆柱的母綫，那么得到的截袋是雨条平行綫； 2,假如截面垂直于圆柱的軸，邢么得到的截綫是一个圓； ●● 3,閔如截面不垂直于軸、也不平行于母綫，那么得到的截袋是一个椭凰。 头雨个論断是很明显的，我們来証明第三个. 假設Q是一个截面，S1和Sg是兩个球，它們在截面的雨边内接于圓柱（图12），分别纫截面于 F1和F。S1、S2雨球和圓柱相切 的雨个圓，用C1和C2来表示。在 图12. 截綫上取任意点M;并經过这个 点引一条母綫。用P1P2来表示圓C1和02之間的一段母織. 应該指出，不資M点在截筏上任何地方，綫段PP2的長 度总是一样的、 然后把M点和F1、F:雨点連接。因为截面Q同时切于 球S1和S2,所以綫段MF1和M2是从M点分别引向球S1 和S2的切綫. 此外，母袋的一段MP1切球S1于P1点，MP2切球S9于 P点。但是，从同一点引向同一个球的切筏段長度相等；所 16 ==========第16页========== 以MP1=MP1,MF2=MP2. 把这雨个等式加起来，得 MF1+MF2=PP2. 这样，我們就得到了：从截綫上任意一点到1和F2雨点 的距离的和是一个常量，因此，这条截綫是一个橢圓，它的焦 点是F1和F2. 图13 刚才尉論的圓柱截面的几何性質，在我們周圍的現实里也常常会碰到。例如，木板上的切不的节是橢圆形的，这就是因为木节本身是圓柱形的綠故。 图14. 根据同样的道理，切下来的香腸片也是橢圓形的、太阳光通过圓孔进人暗室，在地板上也形成橢圆形的光点 8T图 橢圓是一种极重要的曲綫。在技术上为了造成非匀速的轉动，就利用橢圓形的齿輪.在大炮射击的理論里，橢圓也具 17 ==========第17页========== 有重要的意义（炮彈爆散时成橢圍)。太阳系的所有行星，包括我调的地球在内，都是沿着橢圓繞太阴运动的：太阳就处在橢圓的个焦点上（图15）. 图15. 三 在第一节里我們已經講过，螺旋綫在圓柱在平面上的展开面上形成一些平行的綫段。現在我們来競明，用不面截圓柱所得的截綫在展开面上是什么样子 公 的。很明显，当截綫是雨条平行餐或者-一个圓的时候，在展开面 0 上也是雨条平行綫或者一条直镜段。 現在看-一看当截綫是橢时 候的情况。設圆C是用垂道于圓 盐的轴的不面截圓柱所得的截 袋，过圓C的直徑OB作截面Q, 使本面Q和圓的本面所灰的角a 图6 不等于0，也不等于（图16）. 在到圆柱于經过O点的母钱上的一个平面上确立坐标系 統，坐标的原点是O,Ox轴是在O点和圓C相切的切钱，而 18 ==========第18页========== O划軸是过O点的一条母綫。假如使圆柱在xOy平面上沒有滑动地滚动，使圓C沿着x軸浚动，那么乎面Q截圓柱所得的战钱橢圓在不面Oy上的印迹就是我們想要确定它的形式的 一条曲緩。 在橢圓上取任意一点M(图16)，而MY是精園和圆C之 閥的…段母綫。然后經过筱段MN引本行于值徑OB的不面 MNPS。在平面xOy上，筏段MN是所射論的曲綫上M点的缝坐标y,而孤ON的度度是它的横坐标如。圓心角NO1O的 弧度等于：(R是调柱的平徑).。从直角三角形PO1知道， 直角边OP-Rsin景.从直角三角形PSO1求直角边8P:SP=Rain是ga,而SP-MN=,所以 y=Rtgosin为. 最后的等式說明，所討論的曲箴是振幅等于Rtgα的正弦曲袋。 图17. 以上所的都在图17上表明着。圓桂在本面Oy上沒 有滑动地往右边滾动这时侯橢圓OP2就“混开”成正弦曲 19 ==========第19页========== 綾OP1B1®1O1。这种事实在制造爐子烟均的弯管的时候就会 用到.在制造烟囱弯管的时候，鈇板是沿着曲綫y=sinc切割的，因为弯管弯成道角(=46°，ga=1)。在生产上都朵用現成的正弦由綫样板， 四 現在，我鬥来討論求圓柱某些部分的体积的間題。 有一个直圓柱形的容器（盛 牛經是R,高是H),装滿了水。 然后把这个容器傾斜，使一部分水流出来，邦使水流田到容器底刚好露出一华为北。求余下的水 图18 的体积V. 为了解答上面的問题，我們需要用到自然数列前%項的不方和的公式、.設 S2()=12+22+十%2， 求証 &2(n)=(+1)(2m+1) 6 因为以后需要用到，順便导出求自然数列前%項立方和的公式，就是 这里 (m)=13+23+38+…+n3, 我們朵用儿何学方法来証明这雨个公式。把加数各項12、22、32、…2看做正方形的面积，它們的边分别等于1、2、 3、…%,而和S生(%)可以看做是由这些正方形組成的图形的 20 ==========第20页========== 图19. 面积（图19）. 我們把这个图形切成一些寬等于1的長条；把这些長条的面积加起来，說可以得到图形的面积。从下面算起，第一个長条的面积是1+2+3+4+…+%；第二个長条的面积是 2+3+4+…+肌等等。这样，可以把S(%)表示如下： S2(%)=(1+2+3卡…+n)÷(2+3+4+…+m) +(3+4+…+%)十…子。 各个括弧内应用等差极数求和的公式，得到： S2(）÷(mt1)e+（u+2)%-1)++8(m-2) 2 2 9 +(+4(-8》+…+(n+m)[-(8-1)】 2 =2+%-0-1+%2+%-12+2+0-28+n2+1-34 2 .2 2 千…+n3+n-(2-1)2 2 根据公式(k一1)量=”一来看各个分式的分子的第三项，把S2(n)改写成 S(n)=2[n(m2+0)+1-12+2-22++%-n2了=号[n(2+n)+(1+2+…t%）-(12+2+…+%2)j. 斑 ==========第21页========== 而这个式子父可以写成： 2(e)=号[a(m2fm)+a+12-S,)7.2 因此 S2(n)=n(+1)(2a+1) 6 3) 为了导出自然数列前忆項立方的和的公式，我們看…看这样的个正方形，它隅的边的尺寸是：第一个正方形的边長是1，第2个是1+2，第3个是1+2+3，…，最后，第n个正方形的边畏是1+2+3+…÷%. 把这些正方形象图20.上那样放在一个不面上。那么，041=1,0A2=1+2,0A3=1+2+3,,0At-1=1+2+3 …+(2一1)，OA%=1+2+3+…+%。同时：. 01=1,小1A2=2)A243=3,…34a-1A我=%. Bn Bn- 2- Bs G B2 G B:Cr An-t 图20. 22 ==========第22页========== 现在我們求图形BCA4-1C:-iBi-1的面积G,速结 Cm和C-1,把图形分成兩个相等的直角梯形。我們研究其中的一个，例如梯形Cm-1CAA-1;它的面积等于 AncntAn1Cn-1An1An 2 但是 fCm=0Am=142+3+…+%-《n+1,同样，A-:Ca-=04n-1=1+2+3+…+(m-1=(n1)..2. 因此， 212 化笛以后，得： 0n。 而图形B.CnAn An-1Cn-1B:-1的面积等子3。 按衔样的方法，可以求得图形Bm-1Cm-1A-1Aa-2Cn-2Bm-2的面积Gm-1等于（一1）3，…，图形B3C3 AA,C:B2的面积0g等于38：图形B2C2A2A101B1的面积02等于23，此外，正方 形OB1C1A1的面积01等于13. 因此正方形OBnOnAn的面积等于 01十02十0g+…十0m-1十0n=18+28+38+…+m3,而另一方面这个面积也等于 （142+3++%2=[4a2D, 地就是 1+2g+3+…+=[21(我們記得，在中学髁本里公式(3)是用另一种方洪求得 23 湖ー ==========第23页========== 的。 現在我們以开始解答这一节开头提出的問题了。用α来代表流剩下来的液体的表面和俱柱的底所夹的角（图21），那么 6) 再設，因为圓柱醛满水的那一部分有一个对称的本面 0LM(图21)，所以只要求出OLMA的体积再乘2就行了. 把圓柱的底华垡(1〔图22)分成%等分，分点是 1,2)Ag,…211-1 图21. 为了統一起兒，我們用Aa来代表O,用4来代表A。任何相 郭雨点的距离都等于具，經过分点引垂直于牛径OA的本 面、这些面把立体OLMA分成了%层。假如能够把这些 县的体积分别求出，那么，把它們加起米，我們就得到了要求 24 ==========第24页========== 出的体积。現在来看看欢在經过4-1点和A。点的雨个本而 中間的那一层。 把OA分得越小（也就是九越大），越以把第k层看做三校柱。这样，把第层看做三棱柱，我們来求它的体 积。三棱柱的高（就是这一层的厚）等于A-1A,也就是等于 前面指出的平。而三楼杜的底面积等于直角三角形4kB:的面积（∠B是直角），也就是等于号A卫BOe,但是根据(5)，B,Cs=4Btga=AB受所以第最层三棱柱的体积等于 는4。B)·A=号(AL)3 图22. 从直角三角形OAB得到，(4Bx)=R一(OA);但是 因为0A=·,所以LB2=-=02-调. 因此，第层的体积近似地等于 2(n2-).R2狂 25 a4专e9南行灯：卡的：漆部·y清儿准理 ==========第25页========== 在这里，假定依次等于1、2、3、…、亿，求得第1、第2、 第2层的体积的近似值.把它們都加起来，就得到OLMA的 体积的近似值，等于 g+器-9器-胸f …52-m-D+a2-网=%%…n2-(12+2+39+…+%2)们 a时-.0中 我們記得OLMA的体积只有所求的体积V的一华，所以 可以列出近似的等式、 (1+)(2+1) V≈H1-a+ 6 正象已經指出的那样，的值越大，最后一个等式就越准 确。因此，为了求出V的确定值，我們求当%→○时的极限值： (1+)(2+1) r-oai1-+a一 从这里得到 V=号RH. 很有趣，在这个公式里沒有π；而整个圓柱的体积，我們却知道得很清楚，是等于 TR2H, 五 我們来剂論一个跟渣圓柱有关的力学問題。設有一个单26 ==========第26页========== 徑是R、高是H的柱繞着自己的軸作匀速的轉动，角速度 是w。圓柱是由均匀的質料做成的，弦度等于·。求出轉动圃柱的动能。在許多技术問题上，常常会需要獬这样的题目. 从物理髁本知道，运动速度是的獲点（質点就是体积可 以忽略不計的登登的能等于二. 偎設有一系列的質点，它們的質量等于m1、m、…、:,它j的速度依炎等于1、vg、…、,那么点的整个系統的动能就等于各組成点的动能的和，也就是等于 m2+2y2+…+mnn2 2 假如在这些点里面有一些点的速度的值相同（方向不一定相同)，那么这些点的总动能就等于这些点的質量的、乘它明的速度的值的不方的-一牛。 圓柱轉动的时侯，虽然角速度w不变，跟軸距离不同的点的綫速度是不一样的。点离軸渐近，速度渐趋于0；而在圓柱面上的点速度最大。 但是，在距圓柱軸等远的圍柱上的各点的機速度的值却是相等的，为了求出速度的值，可以利用公式 =の， (6) 在这里，是点到軸的距离。很明显，所有这些点都在牛徑是?的阔柱面上，这个圓柱面在原来那个圓柱里面、 把圆柱底的牛徑OA(图3)分成肌等分，分点是街、、 …、4-1,同时跟前面一样用A0莱代O点，用An来代A点。 然后，經过这些分点作有共同轴OO1的圓柱面，这些置柱面把 原来那个间柱分成了%层。这些周柱层的厚度，都一样，等 27 ==========第27页========== D.A AA 图23. 可以近似地把每一个圓柱层上的所有点的速度的值看做是相等的.这个論断当越大的时候就越准确、因此应骸这样进行：先近似地求出各个圓柱层的动能，并把得到的值珈起 来，持果就得到了整个圓柱的动能E的近似值。然后，利用 极限的等式 T 求出动能E的值 我們就照这个計划来解这个問題。 我門研究第无个圓柱层，它夹在經过分点A1和A的兩 个柱面之間。这一层的外徑等于綫段OA的萇，也就是等 于；丙徑01的髮是(6一1)名.近似地認为这一层里所 有的点都有相同的速度殖x,等于A:点的速度，因此 %=0A0=kB0. (7) 我們来近似地求出第层的質量。为了这一点，我們用 鏨轴OO1和某一条母綫的不面把这一层切开。把这一层展 28 ==========第28页========== 并，就得斜了一个可以近似地看做不行六面体的几何体，它的高等于调柱的高丑，厚等于画层的寡，而娄等于盛圆周的是2m0A6=2r6B(图24). 2nk 图24. 这样，就容易求出第飞个圓柱层的体积和質量的近似值：m≈p2m6H-2x22k. (8) 那么根据(7)和(8)，第个圓柱层的动能是 生≈。是吧2 02 24 假定等于1、2、3、…、；就相应地得到第1、第2、第3、 ·、第%层的动能；因此动能Bm的近似值可以从下面的等式求出：Eu牛RHp&(18+28+33+…+m3). 最后，动能的准确值等于 lim aRHp2(18+28+38+…+n3):2→0∞ 24 规紫公式(4)H士a]架代1+公…+3，那么 男20] →∞ 1im元RHpw 4.(1+1)， ：行 ==========第29页========== 粘果是 E宽见丑pw9 4 再有，由于柱的变量M=πR2HP,因此所得到的公式 可以改写成 E边2，e8 (9) 可以比較簡單地正明，任何形状的物体以角速度w沿着某一条軸博动时的动能公式： E1宫”， (10) 在这里，了做物体对于已知軸的轉动铁量 此較一下公式(9)和(0)，很明显，均匀的圓柱对于它的軸的轉动慣量是 J知Ma “2 关于公式(0)的群細証明和轉动饿量的計算，是在理論力学和高等数学里研究的。 六 有一个圓柱形的容器，高是H,底半型是R,母钱是整直 的，里面盛滿着水。在容器的圓底上有一个小孔，孔的面积等 于·：水經过这个小孔流出来。求水位从原来的值H降到α 所需的时間Ta,01,而分袋段AA1、A12、、4n-1B 的是递蹈的.因为，。g=(子-1，所以当%元限增大的时候，各分筏段的長就逐漸趋于零。 錾过点 A)A1,A2,…,Am-1,B 引一毕垂道于圓柱轴的本面；那么，这些平面就把全部液体分成了儿层水平的层。根据以上說的，可以取相当大的值，使这些层的厚度任意小。 我們看看第k层液体(k=1,2,3,…,),它在經过A-1 点和A点的雨个不面之間（图26）。当%相当大的时候，这 一层的厚度A6-1Ak=aq-aq-1=aq-1(q一1)可以看做是很小的；因此可以認为，在这一层所有的点都距离容器底上的小 孔一拌高.当液面从A点降到A-1点时，水流速度就可 以看做是不变的，而且根据(11)， U%=V2g0.46-1=V√2cg-I. 假知州t表示流出第及层的水所需要的时間，邢么5就应 該等于这一层液体的体积，也就是U6=TR2.A-1A。 把Ak-1A和V的值代人，得： tな=7? (agk-ag- 2gagk-1 使k等于1、2、3、…、，就可以求出第1、2、3、…、n层 9 ==========第32页========== 的水流尽的时間，液面高度降到α时所需要的时間T。可以 近似地認为 2, ~프(0-) (aд2-a.) d./2ga c/2g1 +t(g”-ag1) 0√2y0g"i· 把公因式括出，化簡后得： 2≈gag-101+g+2+92 然后，利用求等此级数各項的和的公式，公此是q,得： 1+g立+gg+…+9日 -1q3-1 92-1 也就是 3a-1 92-1 =Va(g交-1)(g玄+1). 或者把g=()代人，得： T≈。（√a-a)()+1. d /2g %越大，最后的近拟等式的准确度也越大。当无限 33 wT· ==========第33页========== 大时(？→o),从极限得到时間Ta的准确值： Ta=n→，(vーv)[()2+1. lim xh2 結果得： 2元R2 'a=6/2g-(√五-√a)。 假1在这个公式里：=0，那么全部液体从圓柱里流出所 需的时間T”。可以用下面的等式求出： 七 在这一节里要討論的，是求圓柱最有利的尺寸的問题、問题是这样叙述的： 已知全面积是S,求直圓柱有最大体积时候的牛徑和高。 为了更清楚地了解这个問题，应該知道，全面积相等的圓柱有无限多。問題是在要求出所有这些圓柱当中有最大体积的一个 很明显，可以把全面积是S的圓柱做成这样：它很高，但 是这时候底的尘徑就会很小，并且当牛徑髅續减小的时候，它的体积可以做成任意小。同样也可以把底的牛徑培大，而为 了使金面积S保持不变，高度就要减小，这样就得到底很大、 高度很小的圓柱（这种圓柱的形状就象一个硬币），它的体积也是很小的。显然，在这雨种极端情形之間，存在着全面积是 S而体积是最大的圆柱。 34 ==========第34页========== 指出了这些情况以后，我捫就来解答所提出的問題。 用：来代表圓柱的底华徑，用y来代表高（图27）。按题义，x和y只能是正的。这个情况在解答里是要用 到的。再用V表示圓柱的体积；用S 表示圓柱的全面积，它是一个常量。 为了求出圓柱的体积，我們朵用早已知道的公式 图27. V=may. (12) 这样，V是随着雨个变量：和y而变化的；但是因为全面积S是裕定的，所以x和y之間存作着的关系可以用等式2mxy+2rx2-S来表示，用2π来除这个等式，得： x则12= 2x· (13) 为了使升算简化，我阀不用常景，而引入另一个常盘 入，假定 S 2=3λ9 (14) 或是S=6m入2， 根据这个改变，可以把(13)改写成：心y+x2=3λ2，也就是 9A2 (15) 把这个值代入公式(12)，得： V=r(3λ2然-c8). (16) 当全面积S是常量时，圓柱的底的牛徑：和体积V之間 5 ==========第35页========== 的关系就是这样的。現在需要求出在体积V最大的时候x的值、为了这个目的，我們把式子(16)改变一下，在(16)的右边部分m上2r入3、耳减去2m入3；那么 V=2T入8一π(3一-3入2c+2λ3). (17) 为了下面論方便起見，把(17)右边括弧里的式子作因式分解： 心3-3λ2G+2λ3=c3-入8-…（入2x-3入3） =(x-入)(c24入x￥入2)-3入2（化-入）=(-入)（北2+入x一2λ2） =(-入)C(x2-入龙)+(2入8-2λ2)]=(龙一入)c(-入)+2入(-入)] 三（一入}2（化十2入）。 这样，(17)可以改写成下面的样子： V=2mλ3-T(c-入)(x+2入). (18) 从上面的式子可以看出，圓柱的体积V等于正的常量 2m入8和变量T(x-入)2(c+2入)的差. 第三个因式（如+入）是正的常量和2入的和，所以在x>0的情况下，这个因式总是正的；第二个因式（必一入），当+入的时候都是正的，只有当x=入的时候才是0， 这样，在(18)右边的减数，当x>0的时候就不会是負的 了。因此只有当这个减数是最小的时候，体积V扌最大.但 是这个减数的最小值是0，而这只有当x±入的时候，在这个情况， V最大=2r入8。· 6 ==========第36页========== 所以这个圓柱的底的牛徑 化#入 的时侯，它有最大的体积。从公式(15)，得到这个柱的高 =入=2%. 因此：已知垒面积是S,只有当底的半徑x=入、高y2入的时候，圓柱守有最大的体积，这里的入是由式子(4)决定的。并 且这也說明了，已知全面积是S,只有当轴截面是一个正方 形，它的边麦等于2入=2√高，的时侯，倒柱字有最大的体积. 我們上面剂論的間題具有很大的实际意义。例如，在罐头工业里制造洋铁罐头的时候，就要利用到这个問題的結果。因为罐头的形狀并不由它里头装的东西来决定，把它的底的 半徑和高按适当比例(2R=H)来制造的話，就可以节省大量 資金。 八 在談到这一的正题以前，先来复习一下一个极限的等式，这个等式象雷布金著的三角髁本里就有証明，在这里我門不再証明了。把它写出来是 lim sinx x→0G (19) (这里x是角的孤度)，以后我們要用到它。 假如一个多面体的各个頂点都在某一个曲面上，我們說这个多面体内接于这个曲面。此如一个立方体的八个頃点都在一个球面上，这个立方体就是内接于这个球面。同样假如 一个四面体的各个須点都在某一曲面（曲面不一定是封阴的） 37 ==========第37页========== 上，我們就說这个四面体内接于这个曲面。必須指出，下面款到的，不但是曲面本身，就是内接于它的多面体，也不一定是封别的。 假如有一个多面体内接于一个已知通面，当这个多面体的面数无限增多的时候，它的各个面的面积就无限縮小，箍成了点，但是多面体在整个变化过程里要錾常保持内接于这个曲面，且假設在曲面上沒有不被多面体碰到的“空白点”. 这里就有一个問题：曲面的面积是不是可以看做内接于曲面的多面体当面数无限增多、而各个面的面积无限縮小时的面积的极限？ 初看起来，这个問题的回答是肯定的，好象用这种方法是可以求出曲面的面积的。但是，用这种方法来求曲面面积原来是不行的，这在下面的例子里可以看出. 举一个笛單的例子，就举圓柱的例子可以說明，曲面的面积不能从内接于曲面（現在我燜指的是圓柱）的多面体当它所有的面无限箱小而趋于点时的面积的极限来求. 由于直圓柱的曲面是沿着轴无限延伸的，邦么我們就研 究圓柱的‘…段”.假設这一段的“長”是H。也用R来代表圓 柱的牛徑。 作一个内接于这个圓柱的多面体，使它的所有的面都是同样的三角形。我們把圓柱的高H分成m等分，并經过这些分点作一些垂道于高的平面。这些不面把圆柱面分成%段，高都是.同时在國柱面上，有m+1个把凰柱面分成这些段的圓.把各个圓分成等分，使每一个上的分点都对着相挪 38 ==========第38页========== 图30. 現在回到我們的内接于圓柱的2mm面体上。为了求出它的面积，只要求H它上面一个三角形的面积，再乘上2mm就行了. 那么，我門先求出这些三角形里面的一个的面积。敦这 个三角形的三頂点是4、B,C(图31)，角40B等于，因 而弦AB=2Rein牙·虥段KE按下列公式求得： K=R-Rcos=2Rgin2 2n 而在直角三角形CK里，因为直 角边0K一是，按勾股弦定理可以求 出斜边CE,它同时是三角形ABC 的高。这样， CE=V√(Cr)+(K)2 0 H2 =√S+4Rsin元， 图31. 因此三角形ABC的面积等于 40 ==========第39页========== 言E0-n√席+4nsin 那么，根据上面所說的，内接于圓柱的多面体的面积是 Sma=2 nnRsin王，/日2R2sin 2n 或者稍箱改变一下， sin sin- S=2T RH 2n (20) 、1 設m和%无跟增大，那么各个面就箍小而趋于点多这时猴，Sm也在变化，現在需要說明，Sn的极限是否存在。 为了弄清楚这一点，必須注意，把圓柱的高H分成m等分和把各个圓分成m等分这雨件事之間，是沒有任何联系的。换句話說，m和驼的值的选擇是互不相关的。.假如是这样，就可能在某一个情况下m=%,而在另一个情况下m=n2等等.现在来論Sm。首先指出，当%→心时，趋于容（风→0)：骰”=x,根据极限等式(19)，得： lim sin lim 8→0 ig-=1。 12今0元 % 这样，在等式(20)里根号前的最后一个乘数，当2趋于无劳失时，它趋向于极限1。然后，先假定二n;那么 sin lim 2n lim 2n →心 4年 ==========第40页========== sin lim in 2% %→eo 0 2n 因此在这种特殊的假毂下，从等式(0)得： limSmm±2mRH1Y√/1+0=2xRH,n->oo 也就是在=n的特殊段設下，求得的极限植相当于围柱側面积的值。 現在假定=m2,在这个情况下得： lim lim 2 1 →02x） 16 根据以上的极限等式，当m=m2时， Sm=2RH11lim 4H2>2mRH, 这就是設，当m和n无限增大、而mx%2时，虽然各个面縮小 趋于点，但多面体面积的极限并不等于圓柱的面积2πRH, 面是此它大一些。 这个看来很奇怪的現象的解釋是这样的。在上面所說的啊种情况里的第-一种，也就是m=%的时候，当n)o○时，多面体各个面和圓柱母镂所夾的角趋于0，也就是說，当九→∞时， 多面体尽量，圓柱側面靠攏。我捫来証明这个事实。用Y来 代表多面体的面和圓柱母綫所夹的角0K(图31)：那么有： 2Rsin2 24 C 饼 4织 ==========第41页========== 但是因为m=n,所以 sin 绍=晋，受in 2m· 2% 于是应用等式(19)，求得 R5招y=器·子01=0，1n1 这就証明了，当肌→∞时，各个面和圓柱母袋之間的角等子零.任第二种情况，也就是背=2时，有： sin2 tgy sin 7 22R 22 21 于是应用等式(19)，求得 g= 12→oo 21 这样，假如m=n,当n→o∞时，内接多面体的i柱母綫所火的角趋于授限銳角，Yo=ntg.假設m=n4,邦么根据以上的論，可矿以証明 limS= 而各个面和圓柱母袋所感的角当乳→∞刷的极限是，，也就是多面体的各个面垂直于镇柱的母綫。这个内接多面体的表面，就具有“山凸不的性質（越大，凹越多）. 这样，求内接于柱的多面体面积的极限，通着我鬥假設的和增長的祖对速度的不，得到的这种极限值也不。所以，假如m和：趋于无穷的的候可以行任何性質；邦么S就不会趋向于某一个极限。 因此，用这样的方法来求面的面积是不行的. 48 ==========第42页==========